חקירה בהינתן הנגזרתחקירת פונקציות 571 · שיעור 65

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 65: חקירה בהינתן הנגזרת

פונקציית מנה עם פרמטר

1📝 השאלה

2🔷 סעיפים א–ב: מגרף הנגזרת

3🔵 סעיף ג: איזה ביטוי?

4🟢 סעיפים ד–ה

5🟣 סעיף ו: שטח

📝 השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≠ ±5 . בסרטוט מתואר גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f'(x) חותך את ציר ה־x רק בנקודה (0 , 0) .

🔷 סעיפים א–ב: מגרף הנגזרת

סעיף א: מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגה

הקשרים: f' חיובית ← f עולה. f' שלילית ← f יורדת. f'(x) = 0 ← נקודה חשודה לקיצון

הנגזרת מתאפסת רק ב־x = 0 . בטבלה שמים גם את −5 , 5 (אותו תחום הגדרה)

משמאל ל־0 הנגזרת מעל ציר x ← עולה. מימין ל־0 מתחת לציר x ← יורדת

עולה ואז יורדת ← מקסימום

✅ x = 0 , נקודת מקסימום

🔷 סעיפים א–ב: מגרף הנגזרת

סעיף ב: מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)

לפי סימן הנגזרת בכל תחום (מעל או מתחת לציר x):

✅

עולה: x < −5 , −5 < x < 0

יורדת: 0 < x < 5 , x > 5

🔵 סעיף ג: איזה ביטוי?

נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 2 . אחד מן הביטויים I–III מייצג את f(x) :

I. x²x² + 25 + 1

II. x²x² − 25 + 2

III. x²x² − 25 + 1

סעיף ג: קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x) . נמקו

I נפסל: מציבים ±5 במכנה: 25 + 25 = 50 ≠ 0 . המכנה לא מתאפס, אבל התחום הוא x ≠ ±5

II נפסל: החזקות במונה ובמכנה שוות, לוקחים את המקדמים: 11 → 1 , ועוד 2: 1 + 2 = 3 ← אסימפטוטה y = 3 , לא 2

III מתאים: המכנה מתאפס ב־±5 , והאסימפטוטה היא 1 + 1 = 2

✅ ביטוי III

🟢 סעיפים ד–ה

סעיף ד: מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים

מציבים x = 0 : f(0) = 00 − 25 + 1 = 1

מציבים y = 0 ומעבירים את ה־1 לצד השני:

x²x² − 25 = −1

כפל בהצלבה:

x² = −x² + 25

2x² = 25

x² = 12.5

x = ±√12.5 ≈ ±3.54

✅ נקודות החיתוך: (0 , 1) , (√12.5 , 0) , (−√12.5 , 0)

🟢 סעיפים ד–ה

סעיף ה: סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

האסימפטוטות: y = 2 , x = 5 , x = −5

בין −5 ל־5: מקסימום ב־(0 , 1) , חותך את ציר x ב־±3.54 , ושני הצדדים יורדים לאורך האסימפטוטות

מימין ל־5: יורדת, מלמעלה אל y = 2

משמאל ל־−5: עולה, מ־y = 2 כלפי מעלה לאורך x = −5

🟣 סעיף ו: שטח

סעיף ו: חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f'(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 3

השטח בין x = 0 ל־x = 3 נמצא מתחת לציר x, אז האינטגרל יוצא שלילי, ולכן כופלים במינוס 1

האינטגרל של f'(x) הוא f(x) :

S = −[f(3) − f(0)]

f(3) = 99 − 25 + 1 = 716

f(0) = 1

S = −[716 − 1] = −(−916)

✅ S = 916

📌 לזכור

💡 כשנתון גרף הנגזרת: מעל ציר x ← הפונקציה עולה, מתחת ← יורדת, וחיתוך עם ציר x ← נקודה חשודה לקיצון. ובשטח מתחת לציר x כופלים את האינטגרל במינוס 1.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא